Ver o código fonte de "Triángulo de Pascal"

[[Ficheiro:triángulo de Pascal.png|miniatura|250px|Triángulo de Pascal ou de Tartaglia.]]
O triángulo de [[Blaise Pascal|Pascal]], tamén coñecido como triángulo de [[Tartaglia]], é un [[triángulo]] de [[número enteiro|números enteiros]], [[infinito]] e simétrico.

== Fundamentos ==
Constrúese do seguinte xeito: Empézase polo « 1 » do cume. Dunha liña á seguinte convense escribir os números cun desfasamento de media casa. Así, as casas (que non se debuxan) terán cada unha dúas casas xusto encima, na liña anterior. O valor que se escribe nunha casa é a suma dos valores das dúas casas enriba dela. O valor cero non se escribe. Por exemplo, na última liña debuxada, o cuarto valor é 84 = 28 + 56, suma do terceiro e cuarto valor da liña anterior. Obsérvase, e non é difícil demostralo, que a capa exterior está formada de ''uns'', a segunda capa dos naturais en orde crecente, que os números non fan máis que subir dunha liña á seguinte e que existe un eixo de simetría vertical que pasa polo vértice.

Con todo, o interese deste [[triángulo]] non radica nestas propiedades, senón no vínculo que ten co [[álxebra]] elemental. En efecto, as cifras ''1; 2; 1'' e ''1; 3; 3; 1'' recordan as identidades:
{|
|<math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad</math>
|&nbsp;&nbsp;&nbsp;y &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|<math>(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2+ b^3 \quad</math> 
|}
pois son os coeficientes dos seus [[polinomio|monomios]]. Este parecido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do [[binomio]] ''a + b''.

== Relación entre o triángulo de Pascal e o binomio de Newton ==
A [[fórmula]] que dá o desenvolvemento de '''<math>(a+b)^n</math>''' segundo as potencias crecentes de ''a'' (e decrecientes de ''b'') chámase '''binomio de '''[[Isaac Newton|Newton]]. Nesta expresión, o único que se descoñece son os coeficientes dos monomios '''<math>a^k b^{n-k}</math>'''.

'''Teorema'''<br />
<center>
Os coeficientes da forma desenvolvida de (a + b)<sup>n</sup> son dados <br />pola liña número ''n+1'' do triángulo de Pascal (a que empeza por ''1'' e ''n'').
</center>
'''Proba'''

Xa está visto que é certo para n=2 e n=3. Tamén o é para n=0.<br />
Para establecer o resultado para calquera valor de n ∈ ℕ, o máis natural é proceder por [[indución matemática|indución]].
Supondo que é certo para un valor de ''n'', hai que deducir que o é tamén para '''n+1'''. No canto de facelo no caso xeral (sería pouco claro) miremos que sucede ao pasar da liña n = 3 á liña n = 4.

[[Ficheiro:triángulo Pascal binomio Newton.png|dereita]]
Como o mostra a figura, o desenvolvemento de (a&nbsp;+&nbsp;b)<sup>4</sup> consiste en dúas copias do desenvolvemento de (a&nbsp;+&nbsp;b)³. Están desfasadas (unha corresponde a ''a⋅(a&nbsp;+&nbsp;b)³'' e a outra a ''b⋅(a&nbsp;+&nbsp;b)³'') e cando se suman, un mesmo [[coeficiente]] aparece nunha posición dada e outra vez a un paso á dereita.<br />
Se se considera só os coeficientes, inscritos en sendas casas, obtemos a suma seguinte:

[[Ficheiro:triángulo Pascal binomio Newton 2.png|esquerda]]

e obviamente non fai falta escribir dúas veces as mesmas cifras: a [[sumar|suma]] consiste en engadir a un coeficiente o coeficiente inmediatamente á súa dereita (o 1 co 3, o 3 co segundo 3 etc) e isto é xustamente o que se fai no triángulo de Pascal. Noutras palabras, o triángulo simula a [[multiplicación]] de (a + b), dunha liña á seguinte.

== Coeficientes do binomio de Newton ==
[[Ficheiro:triángulo de Pascal en tabla.png|dereita]]
Inscríbese o triángulo de Pascal nunha [[táboa]] para poder nomear a cada coeficiente do mesmo. O número na liña ''n'' e a columna ''p'' denótase:
<br />
{|
|<math>n \choose k</math>   
| ou máis raramente 
|<math>C_n^k</math>   
|}

("C" por "combinación") (por exemplo en [[calculadora|calculadoras de peto]], como a [[TI-86]] e familia), e dise "n sobre k", "combinación de n en k" moito máis curto que "coeficiente binomial n, k". As casas baleiras corresponden a valores nulos. Por definición mesma, temos, (para todo ''n'' natural):
{|
|<math> (a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^{n-k} b^k </math> 
|}
para calquera valor de ''a'' e ''b''. De feito, é unha igualdade de [[polinomio]]s en ℤ[a, b]. Sen perder en xeneralidade, resulta ás veces máis práctica a ''"definición"'' :
{|
|<math> (X+1)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} X^k </math> 
|}

vista como unha igualdade de polinomios en ℤ[X]. Desta fórmula dedúcense dúas consecuencias:

{|
|Tomando X = 1 obtense:  
|<math>\sum_{k=0}^n {n\choose k} = 2^n </math> 
|}
A suma dos coeficientes dunha mesma liña vale 2<sup>n</sup>. En efecto: 1 = 2<sup>0</sup>, 1 + 1 =2= 2¹, 1 + 2 + 1 =4= 2², 1 + 3 + 3 + 1 =8= 2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 =16= 2<sup>4</sup> ... · Con X = -1 obtense, (n > 0): 
{|
|<math>\sum_{k=0}^n {n\choose k} (-1)^k = 0 </math> 
| : a suma alterna dos números dunha mesma liña vale 0.
|}
En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ... As propiedades que observamos no triángulo pódense agora escribir con todo rigor:

{| align=left width=4% border=1
| bgcolor=#FFFF00 |.
|}

{|
|<math> {n\choose 0} = {n\choose n} = 1</math>
| (costados esquerdos e dereitos do triángulo).
|}

{| align=left width=4% border=1
| bgcolor=#00FF00 |.
|}

{|
|<math> {n\choose 1} = {n\choose {n-1}} = n</math>
| (''"segunda capa"'').
|}

{| align=left width=4% border=1
| bgcolor=#FF0000 |.
|}
{|
|<math> {n\choose {n-p}} = {n\choose p} </math>
| (simetría respecto ao eixo vertical do triángulo).
|}

{| align=left width=4% border=1
| bgcolor=#00FFFF |.
|}

{|
|<math> {n\choose p} = 0 </math>
|cando '''p > n''' (corresponde á zona fose do triángulo).
|}
E claro, a regra de construción do triángulo dá a relación fundamental dos coeficientes binomiais:

{| align=left width=4% border=1
| bgcolor=#FF00FF |.
|}
<math> {n\choose p} + {n\choose {p+1}} = {{n+1}\choose {p+1}}</math>

[[Ficheiro:triángulo de Pascal colores.png]]

== Interpretación en combinatoria ==
Os [[Coeficiente binomial|coeficientes binomiais]] son a base mesma da [[combinatoria]]. Vexamos por que:
Tomemos de novo un [[binomio]], por exemplo <math>(a+b)^3</math>, e desarollémoslo, pero dun xeito distinto do parágrafo anterior:

::<math>(a+b)^3 = (a+b)\cdot (a+b) \cdot (a+b)</math>
logo quitemos #o\\\ #paréntese\\, pero sen cambiar a orde nos produtos, é dicir sen aplicar a [[conmutatividade]]:<br />
::<math> (a+b)\cdot (a+b) \cdot (a+b)= (a a + ab + ba + bb )\cdot (a+b) </math>
::<math> = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb \quad </math>
E agrupemos os termos que conteñen o mesmo número de a, (e de b):
::<math> = aaa + (aab + aba + baa) + (abb + bab + bba)  + bbb  \quad</math>

A primeira paréntese contén todas as palabras constituídas dun ''b'' e dous ''a''. Neste caso, é fácil ver que hai exactamente tres. No caso xeral, para contar as palabras, hai que aplicar a conmutatividade, pois as palabras que conteñen o mesmo número da e b darán o mesmo termo:

::<math> = 1\cdot a^3  + 3\cdot a^2b + 3\cdot ab^2 + 1\cdot b^3 </math>

{|
|O primeiro factor 3, que é
|<math>{3 \choose 1}</math> 
|conta as tres palabras mencionadas (aab, aba e baa).
|}

{|
|O segundo factor 3, que é
|<math>{3 \choose 2}</math>
|conta as palabras feitas de dúas ''b'' e un ''a'' (abb, bab e bba).
|}

Obviamente, só hai unha palabra de tres letras constituídas de ''a'' soamente, e isto corresponde ao monomio '''1·a³''', con 1 = <math>{3 \choose 0}</math> ( «0 » por ''ningunha b'').

No canto de falar de palabras formadas con ''a'' e ''b'', é equivalente imaxinar unha fileira de ''n'' caixóns inicialmente baleiros, e ''p'' bólas intercambiables que se teñen que repartir, en cada [[caixón]] non cabendo máis dunha. Trátase en todos casos de repartir ''p'' obxectos entre ''n'' sitios posibles, ou de escoller un grupo de ''p'' obxectos/sitios entre ''n'' obxectos/sitios. De aí a apelación ''p entre n''.

Todo o anterior leva ao '''teorema''':

{|
| Hai exactamente
|<math>{n \choose p}</math>
| xeitos de escoller un conxunto de ''p'' elementos entre ''n'' elementos.
|}

En matemática formal, prefírese falar de [[conxunto]]s: 
{|
|Existen
|<math>{n \choose p}</math>
|subconjuntos de cardinal p nun conxunto de cardinal n.
|}

Este punto de vista permite achar a fórmula para os [[Distribución binomial|coeficientes binomiais]]. En efecto, para elixir o « primeiro » elemento, hai ''n'' posibilidades, logo para escoller o segundo quedan ''n-1'' posibilidades e así sucesivamente ata o elemento número ''p'', que ten ''n-p+1''. A orde no que se elixiu estes ''p'' elementos non importa, podíase obter o mesmo [[subconjunto]] de ''p'' elementos noutra orde. Hai [[factorial|p!]] [[permutación e grupo simétrico|permutacións]] posibles destes ''p'' elementos, é dicir p! xeitos de obter o mesmo conxunto.

{|
| Xa que logo hai
|<math> \frac {n \cdot (n-1) \cdot (n-2) ... (n-p+1)} {p!} </math>
|subconjuntos posibles.
|}

En conclusión:
<center>
<math> {n\choose p} = \frac {n \cdot (n-1) \cdot (n-2) ... (n-p+1)} {p \cdot (p-1) \cdot (p-2) ... 2 \cdot 1} =   \frac {n!} {p! \cdot (n-p)!} </math> 
</center>

{|
|Verifiquémoslo nun exemplo: 
|<math>{5\choose 2} = \frac { 5!} {2! 3!} = \frac {5 \times 4 \times 3 \times 2}  {2 \times 3 \times 2} = 10 </math>
|}

No triángulo, o valor na quinta liña e segunda columna é 10. Para rematar, listemos as palabras de cinco letras formadas de 2 ''a'' e 5-2 = 3 ''b'' (na orde alfabética, ou na orde crecente considerando que ''a'' é a cifra ''0'' e ''b'' a cifra ''1''):<br />
aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba, bbaab, bbaba, bbbaa.

A fórmula permite verificar todas as propiedades do parágrafo anterior, con todo pódese prescindir dos cálculos na maioría dos casos, con tal de manipular os conceptos idóneos.

Un [[subconjunto]] A de E define unha ''partición'' de E en dous partes E = A B ∪ , coa ∩ B = {}= ∅ ([[conxunto baleiro]]). Aquí <math> B = \overline{A}</math> é o complementario da en E.

Dá o mesmo escoller os ''p'' elementos da que os ''n-p'' elementos de math <math>\overline{A}</math>.<br />
{|
|Isto xustifica, sen cálculo, a simetría
|<math>{n\choose {n-p}} ={ n\choose p}</math>.
|}

{|
|Se > p n, non hai subconjuntos de E con ''p'' elementos, porque E contén só ''n'', logo
|<math> {n\choose p} = 0</math>
|}

{|
|Tamén son evidentes as igualdades
|<math> {n\choose 1} = n</math>
| e
|<math> {n\choose 0} = 1</math>
| porque, no primeiro caso,
|}
hai tantos xeitos de escoller subconjunto de tamaño 1 que de elementos de E, e no segundo caso, só existe un conxunto con cero elemento: o conxunto baleiro.

A regra fundamental tamén ten explicación gráfica:

Proba: escóllese un elemento ''e'' calquera de ''E'', que contén n+1 elementos: E = E' ∪ {e}. Logo considéranse os subconjuntos ''A'' de ''E'' de cardeal p+1. Son de dous tipos: ou conteñen e, ou non.
{|
|Se ''e'' ∈ ''A'', entón falta elixir ''p'' elementos de E' para completar ''A''. Hai
|<math> {n\choose p}</math>
| posibilidades.
|}

{|
|Se ''e'' ∉ A, entón falta elixir ''p+1'' elementos de E' para definir ''A''. Hai
|<math> {n\choose {p+1}}</math>
| posibilidades.
|}

Sumando os dous casos, obtense todos as partes de p+1 elementos de E, constituído de n+1 elementos.
{|
|Hai xa que logo
|<math> {{n+1}\choose {p+1}} = {n\choose {p+1}}+ {n\choose p}</math>
|}

Un exemplo:

[[Ficheiro:suma de binomiales figura.png]]

Aquí vai unha propiedade [[aritmética]], sen interpretación xeométrica: cando '''n é primo''', os coeficientes binomiais na liña ''n'' son divisibles por ''n'', excepto os dous ''bordos'' da mesma (que valen 1).
Escrito formalmente:

{|
|'''Teorema''' : 
| <math> \forall p \in [1; n-1] , n / {n\choose p} </math>
|}

[[Ficheiro:triángulo_de_Pascal_con_n_primo.png|dereita]]

Na figura, os exemplos están en verde, e os contraejemplos (cando n non é primo e p divide n) en amarelo.

{|
|'''Proba''': na fracción
|<math>\frac {n!} {p! (n-p)!} </math>
| o factor primo
|}

''n'' aparece unha vez no numerador e xamais no denominador.
(O denominador é un produto de números entre 1 e n-1). Xa que logo a fracción é divisible por n.

== Xeneralización ==
No canto de considerar as potencias de '''a + b''', pódese mirar as do trinomio '''a + b + c'''. <br />
'''(a + b + c)<sup>n</sup>''' é unha suma de monomios da forma ''λ<sub>p, q, r</sub>
·a sup<>p</sup>·b<sup>q</sup>·c<sup>r</sup>'', con ''p'', ''q'' e ''r'' positivos, ''p + q + r = n'', e λ<sub>p, q, r</sub> un natural que se tería que chamar ''coeficiente trinomial''.

Os cálculos son similares aos do coeficiente binomial, e dan a expresión seguinte:

<math> \lambda_{p,q,r} = \frac {n!} {p! q! r!} </math> <br />
  
Corresponde ao número de partición en tres dun conxunto de ''n'' elementos, en subconjuntos de ''p'', ''q'' e ''r'' elementos. Un exemplo:

[[Ficheiro:pirámide_de_Pascal.png|esquerda]]

Estes coeficientes pódense achar na analogía tridimensional do triángulo de Pascal: Poderíase chamar a ''[[pirámide de Pascal]]'', é tamén [[infinito|infinita]], con seccións triangulares, e o valor en cada casa é a suma dos valores das tres casas encima dela.<br />
Debuxouse as primeiras seccións a partir do cume.<br />
Obsérvase unha invariance por rotación de 120 graos ao redor dun eixo vertical que pasa polo vértice.<br />
O triángulo de Pascal aparece nas tres caras da pirámide.

Está claro que todo isto pódese xeneralizar a calquera dimensión finita, pero sen a posibilidade de facer debuxos explicativos.

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Álxebra]]