Ver o código fonte de "Función de distribución"

{{sen referencias}}
En [[teoría da probabilidade]], a '''función de distribución''' ou '''función de distribución acumulada ''', é a función que describe completamente a distribución da probabilidade dunha variable aleatoria de valor real ''X''. Para cada número real ''x'', a función de distribución vén dada por<ref>[http://www.math.uah.edu/stat/dist/CDF.xhtml Distribution and Quantile Functions] na [[Universidade de Alabama en Huntsville]]</ref>:

<math>F(x) = \operatorname{P}(X\leq x),</math>

é dicir, a [[función]] de nome "F" é igual á [[probabilidade]] de que a [[variable aleatoria]] ''X'' tome un valor inferior ou igual a un determinado ''x''. Segundo esta definición, para cada ''x'', a función F asumirá un valor diferente.

A probabilidade de que ''X'' se sitúe nun intervalo ]''a'',&nbsp;''b''] (aberto en ''a'' e pechado en ''b'') é ''F''(''b'')&nbsp;−&nbsp;''F''(''a'') se ''a''&nbsp;≤&nbsp;''b''. Por convención emprégase un ''F'' maiúsculo para a función de distribución, en contraste co ''f'' minúsculo empregado para a [[función de densidade]] e a [[función de masa de probabilidade]].

A función de distribución pode ser facilmente obtida a partir da función de probabilidade respectiva. No caso dunha [[variable aleatoria discreta]]:

<math>F(x) = \sum_{x_i \leq x}^{}f(x_i)</math>

Para unha [[variable aleatoria continua]]:

<math>F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(x_i)\,dx</math>

Na definición, o signo "menor ou igual", '≤' podería ser substituído por "menor" '<'. Isto produciría unha función diferente, mais calquera das funcións pode ser deducida facilmente a partir da outra. Tamén se podería substituír por un sinal "maior" '>' e deducir as propiedades desta nova función. Porén, cómpre axustar a definición ao sinal pretendido.

== Exemplos ==
Como exemplo, se a variable ''X'' é [[distribución uniforme continua|distribuída uniformemente]] no intervalo [0,&nbsp;1] a función de distribución vén dada por:
:''F''(''x'') = 0, se ''x'' < 0;
:''F''(''x'') = ''x'', se 0 &le; ''x'' &le; 1;
:''F''(''x'') = 1, se ''x'' > 1.

Se ''X'' toma só os valores 0 e 1, con igual probabilidade, é dicir, se ''X'' segue a [[distribución de Bernoulli]] con p = 1/2, entón a función de distribución vén dada por:
:''F''(''x'') = 0, se ''x'' < 0;
:''F''(''x'') = 1/2, se 0 &le; ''x'' < 1;
:''F''(''x'') = 1, se ''x'' &ge; 1.

== Propiedades ==
Se ''X'' é unha [[variable aleatoria discreta]], entón toma os valores ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ... con probabilidade ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub> etc., a función de distribución de ''X'' é descontinua nos puntos ''x''<sub>''i''</sub> e constante entre eles.

Se a función de distribución ''F'' de ''X'' é continua, entón ''X'' é unha [[variable aleatoria continua]]; se alén diso ''F'' é absolutamente continua, entón existe unha función [[integral de Lebesgue]] ''f''(''x'') tal que

:<math>F(b)-F(a) = \operatorname{P}(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx</math>

para todos os números reais ''a'' e ''b''.  A primeira das dúas igualdades non sería xeral se a distribución non fose continua. A continuidade da distribución implica que P(''X'' = ''a'') = P(''X'' = ''b'') = 0, de modo que a diferenza entre "<" e "&le;" deixa de ser importante neste contexto. A función ''f'' é igual á [[derivada]] de ''F'' (en case todos os puntos), e chámase [[función de densidade]] de probabilidade da distribución de ''X''.

Para calquera función de distribución <math>F</math>, tense:

*<math>0 \le F(x) \le 1</math>
*<math>F</math> é non decrecente (crecente ou constante): <math>x_1 < x_2 \Rightarrow F(x_1) \le F(x_2)</math>
*<math>F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0</math>
*<math>F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1</math>
*<math>F</math> é continua pola dereita: <math>F(a^+) = \lim_{x \to a^+}F(x) = F(a)</math>
*<math>\operatorname{P}(x=a) = F(a) - F(a^-)</math>
*<math>\operatorname{P}(a < x \le b) = F(b) - F(a)</math>, con <math>a,b \in \mathbb{R}</math>, e  <math>a < b</math>

As seguintes propiedades permiten ligar os diferentes tipos de desigualdades, e que se aplican as funcións de distribución de variables aleatorias discretas:

*<math>\operatorname{P}(X < b) = F(b^-)</math>
*<math>\operatorname{P}(X > a) = 1 - F(a)</math>
*<math>\operatorname{P}(X \ge a) = 1 - F(a^-)</math>
*<math>\operatorname{P}(a < X < b) = F(b^-) - F(a)</math>
*<math>\operatorname{P}(a \le X < b) = F(b^-) - F(a^-)</math>
*<math>\operatorname{P}(a \le X \le b) = F(b) - F(a^-)</math>

No caso das variables aleatorias continuas, cúmprense as seguintes propiedades:

*<math>F</math> é continua en todos os puntos (no caso das v. a. discretas era só continua pola dereita)
*<math>\operatorname{P}(x = a) = \int_{a}^{a}f(x)\,dx = 0</math>
*<math>\operatorname{P}(a \le X \le b) = \operatorname{P}(a \le X < b) = \operatorname{P}(a < X \le b) = \operatorname{P}(a < X < b) = \int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)- F(a)</math>

O [[test de Kolmogorov-Smirnov]] baséase en funcións de distribución acumulada e pode empregarse para ver se dúas distribucións empíricas son diferentes ou se unha distribución empírica é diferente dunha distribución ideal. Relacionado con este está o [[test de Kuiper]], que é útil se o dominio da distribución é cíclico como por exemplo nos días da semana. Por exemplo podemos usar o test de Kuiper para ver se o número de [[tornado]]s varía durante o ano ou se as vendas dun produto varían día a día ou por día do mes.

== Notas ==
{{Listaref}}

== Véxase tamén ==
=== Bibliografía ===
*[http://w3.ualg.pt/~sjesus/aulas/pds/node108.html Concepto de variable aleatoria e de función de distribución]
*[http://www.portalaction.com.br/content/21-fun%C3%A7%C3%A3o-de-distribui%C3%A7%C3%A3o-acumulada Portal Action]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Estatística]]