Ver o código fonte de "Factorial"

{{sen referencias}}
Nas [[matemáticas]], a '''factorial''' dun [[número natural]] ''n'' é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a ''n''. Iso é escrito como ''n!'' e lido como "factorial de ''n'' ". A notación ''n!'' foi introducida por [[Christian Kramp]] en [[1808]].<ref>{{cita libro|title=Number Story: From Counting to Cryptography |last=Higgins |first=Peter |year=2008 |publisher=Copernicus |location=Nova York |isbn=978-1-84800-000-1 |page=12 |pages= }}, mais di Krempe.</ref>

== Definición ==

A función factorial é definida como o produto<blockquote><math>n!  = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n,</math></blockquote>que se pode escribir como<blockquote><math>n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{para todo }n\ge0.</math></blockquote>Por exemplo,
:5! = [[un|1]] × [[dous|2]] × [[tres|3]] × [[catro|4]] × [[cinco|5]] = [[cento vinte|120]]

A secuencia das factoriais {{OEIS|id=A000142}} para {{math|1=''n'' = 0, 1, 2,...}} comeza con:

:1, 1, 2, [[seis|6]], [[vinte e catro|24]], [[cento vinte|120]], [[setecentos vinte|720]], 5040, 40320, 362880, 3628800,...

=== Factorial de cero ===
A factorial de 0, <math>0!</math>, é 1. Hai diversas razóns que xustifican esta definición:

* Para {{math|1=''n'' = 0}}, a definición de {{math|''n''!}} como produto precisa do produto de ningún número, é a convención estendida di que o produto de ningún factor é igual a identidade na multiplicación, 1.<ref>Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''[[Concrete Mathematics]]'', Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, p.&nbsp;111</ref>
* Estende a relación de recorrencia {{math|1=(''n'' + 1)! = (''n''+1)·''n''!}} a {{math|1=''n'' = 0.}}.

=== Factorial de non enteiros ===
A definición de factorial tamén se pode definir para valores non enteiros a través da [[función gamma]], detallado máis [[Factorial#A función gamma|abaixo]]:

: <math>z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt</math>

== Aplicacións ==
Aínda que a función factorial ten os seus inicios na [[combinatoria]], as súas aplicacións esténdense por moitas áreas da matemática.

* Existen ''n''! camiños diferentes de arranxar ''n'' obxectos distintos nunha secuencia, chamados [[permutación]]s.<ref>{{Cita libro|url=|title=Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe|last=Cheng|first=Eugenia|date=2017-03-09|publisher=Profile Books|year=|isbn=9781782830818|location=|pages=|language=en|author-link=Eugenia Cheng}}</ref><ref name=":0">{{Cita libro|url=|title=The Book of Numbers|last=Conway|first=John H.|last2=Guy|first2=Richard|date=1998-03-16|publisher=Springer Science & Business Media|year=|isbn=9780387979939|location=|pages=|language=en|author-link=John Horton Conway|author-link2=Richard K. Guy}}</ref> 
* A miúdo aparece en contexto de contar cousas onde a orde non é importante. Por exemplo, no caso de contar o número de escoller ''k'' elementos dun conxunto de ''n'' é dado polo [[coeficiente binomial]]<ref name=":1">{{Cita libro|url=|title=The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms|last=Knuth|first=Donald E.|date=1997-07-04|publisher=Addison-Wesley Professional|year=|isbn=9780321635747|location=|pages=|language=en|author-link=Donald Knuth}}</ref>
:<math>{n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.</math>
* Os factoriais tamén aparecen en [[cálculo]]. Por exemplo, na [[serie de Taylor]], que expresa a función ''f''(''x'') como unha serie de serie de [[potencia]]s en ''x''. A razón principal é que o ''n'' derivativo de ''x''<sup>''n''</sup> é ''n''!.<ref>{{Cita web|url=https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/|title=18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series|last=|first=|date=Fall 2006|website=MIT OpenCourseWare|archive-url=|archive-date=|dead-url=|access-date=2017-05-03}}</ref>
* Os factoriais tamén son usados extensamente na [[teoría da probabilidade]].<ref>{{Cita libro|url=|title=Statistical Physics of Particles|last=Kardar|first=Mehran|date=2007-06-25|publisher=Cambridge University Press|year=|isbn=9780521873420|location=|pages=|language=English|chapter=Chapter 2: Probability|author-link=Mehran Kardar}}</ref>
* Os factoriais tamén son frecuentemente utilizados como exemplos simplificados de [[recursividade]], en [[ciencias da computación]], porque satisfán as seguintes relacións recursivas: (se ''n'' ≥ 1):
:''n''! = ''n''&nbsp;(''n'' − 1)!

== Como calcular factoriais ==
O valor numérico de ''n''! pode ser calculado por multiplicación repetida se ''n'' non for grande de máis. É iso o que as calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguantan é 69!, porque 70!&nbsp;>&nbsp;10<sup>100</sup>.

Cando ''n'' é grande de máis , ''n''! pode ser calculado cunha boa precisión usando a [[fórmula de Stirling]]:<ref>Dan Romik, ''Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?'', The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul., 2000), 556–557.</ref>
:<math>n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a [[indución matemática]]. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio:
:<math>\left({n \over 3}\right)^n < n! < \left({n \over 2}\right)^n\ \mbox{if}\ n\geq 6.\,</math>

== Logaritmo de factorial ==

O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial  irá ocupar. log ''n''! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:
:<math>\sum_{k=1}^n{\log k}</math>

Nótese que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor <math>{\log n!} \over n</math> crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores:

[[Ficheiro:Log-factorial.PNG]]

Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da [[aproximación de Stirling]].

== Factorial para valores non enteiros ==

=== A función gamma ===
{{Artigo principal|Función gamma}}
A [[función gamma]] Γ(''z'') é definida para todos os [[número complexo|números complexos]] ''z'' excepto os enteiros non positivos (''z''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;−1,&nbsp;−2,&nbsp;−3,&nbsp;...). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisfai un relacionamento recursivo similar a aquel da función factorial:
:<math>n!=n(n-1)!</math>
:<math>\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)</math>

Xunto coa definición Γ(1)&nbsp;=&nbsp;1 iso xera a ecuación
:<math>\Gamma(n+1)=n!\qquad\mbox{para todo }n\in\mathbb{N},n\ge1.</math>

Por causa desa relación, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións:
* Significado compartido: A definición canónica da función factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartido por ambos.
* Unicidade: A función gamma é a única función que satisfai o relacionamento recursivo mencionado para o dominio dos números complexos e é [[holomórfica]] e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial. 
* Contexto: A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese).

<br />

== Funcións semellantes á factorial ==

=== Multifactoriais ===

Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un '''multifactorial''', o produto de enteiros en pasos de (''n''!!), tres (''n''!!!), ou máis.

''n''!! denota o '''factorial duplo''' de ''n'' e é definido recursivamente por

:<math>
  n!!=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\quad\ &&\mbox{if }n=0\mbox{ or }n=1;
   \\
    n(n-2)!!&&\mbox{if }n\ge2.\qquad\qquad
   \end{matrix}
  \right.
 </math>

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A secuencia de factoriais duplos para ''n'' = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algunhas identidades que envolven factoriais duplos son:
:<math>n!=n!!(n-1)!!</math>

:<math>(2n)!!=2^nn!</math>

:<math>(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}</math>

:<math>\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}</math>

Débese ser cuidadoso para non interpretar ''n''!! como a factorial de ''n''!, que debería ser escrito (''n''!)! e é un número moito maior (para ''n''>2).

A factorial dupla é a variante máis comumente usada, mais pódese definir a factorial tripla do memso modo (''n''!!!) e así por diante. En xeral, a ''k''-ésima factorial, notado por ''n''!<sup>(''k'')</sup>, é definido recursivamente como

:<math>
  n!^{(k)}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k;
   \\
    n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{if }n\ge k.\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.
 </math>

=== Hiperfactoriais ===

Ocasionalmente o '''hiperfactorial''' de ''n'' é considerado. É escrito como ''H''(''n'') e definido por

:<math>
  H(n)
  =\prod_{k=1}^n k^k
  =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n
 </math>

Para ''n'' = 1, 2, 3, 4,... os valores de ''H''(''n'') son 1, 4, 108, 27648,...

A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.

=== Superfactoriais ===

[[Neil Sloane]] e [[Simon Plouffe]] definiron o '''superfactorial''' en 1995 como o produto dos primeiros ''n'' factoriais.  Así, o superfactorial de 4 é 
:sf(4)=1!*2!*3!*4!=288.
No xeral,
:<math>
  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 </math>
A secuencia de superfactoriais comeza (de ''n''=0) como:
:1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... {{OEIS|id=A000178}}

Esa idea pode ser facilmente estendida para '''superduperfactorial''' como o produto dos primeiros ''n'' superfactoriais (iniciando con n=0), así
:1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... {{OEIS|id=A055462}}
e aí en diante, [[recursión|recursivamente]] para todos os '''factoriais múltiplos''', onde o ''m''-factorial de ''n'' é o produtod dos primeiros ''n'' ''(m-1)''-factorials, i.e.
:<math>\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1)
  =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k} </math>
onde <math>\mathrm{mf}(n,0)=n</math> para <math>n>0</math> e <math>\mathrm{mf}(0,m)=1</math>.

=== Superfactoriais (definición alternativa) ===
[[Clifford Pickover]], no seu libro ''Keys to Infinity'', de 1995, definiu o '''superfactorial''' de ''n'', escrito como ''n''$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial ! cun S sobreposto) como
:<math>n\$=n^{(4)}n</math>
onde a notación <sup>(4)</sup> denota o operador [[hyper4]], ou usando a [[notación de frecha de Knuth]],
:<math>n\$=(n!)\uparrow\uparrow(n!)</math>
Esa secuencia de superfactoriais comeza:
:<math>1\$=1</math>
:<math>2\$=2^2=4</math>
:<math>3\$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}</math>

=== Factoración prima de factoriais ===
A potencia de ''p'' que ocorre na factoración prima de ''n!'' é

:<math>\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor</math>

== Notas ==
{{Listaref}}

== Véxase tamén ==
{{Commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{cita libro|first=M. J. |last=Hadamard|title=Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière|publisher=''OEuvres de Jacques Hadamard'', Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968|url=http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardFactorial.pdf|year=1894 |language=fr}}
* {{cita libro|first=Srinivasa|last=Ramanujan|title=The lost notebook and other unpublished papers|publisher=Springer Berlin |page=339 |year=1988|isbn=3-540-18726-X}}

=== Ligazóns externas ===
* [https://web.archive.org/web/20051030050815/http://membres.lycos.fr/rsirdey/facttabl.htm Táboa de 2! - 256! (exacta)]
* [http://factorielle.free.fr Factorial n!]
* [https://web.archive.org/web/20020102031151/http://home.earthlink.net/~mrob/pub/math/largenum-2.html O dicionario dos números grandes]
* [http://myalgorithm.com/source-94.html Algoritmo factorial] - Pascal

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Matemáticas]]