Ver o código fonte de "Fórmula de Euler"

A '''fórmula de Euler''' ou '''relación de Euler''', atribuída a [[Leonhard Euler]], establece o teorema, no que:
<center> <math>e^{i x} = \cos x + i\,\sen x</math></center>

para todo [[número real]] ''x'', que representa un ángulo no [[plano complexo]]. Nela, ''e'' é a [[Número e|base do logaritmo natural]], ''i'' é a [[unidade imaxinaria]], <math>\sen x</math> e <math>\cos x</math> son as [[Función trigonométrica|funcións trigonométricas]] [[seno]] e [[coseno]].

Tamén adoita expresarse como:
<center><math>e^{z} = e^{x + i y} =e^{x}(\cos y + i\,\sen\,y)</math></center>
onde z <math>z</math> é a variable complexa definida por <math>z=x+iy</math>
  
== Demostración ==
Nótese que esta non é unha demostración baseada nas propiedades dos números complexos e da [[función exponencial]], senón que é necesaria a definición da exponencial complexa como o equivalente á serie de Taylor sobre os [[Número real|números reais]] para parámetros complexos.

A fórmula pode interpretarse xeometricamente como unha [[circunferencia unidade]] no [[plano complexo]], debuxada pola función ''e''<sup>''ix''</sup> ao variar <math>x</math> sobre os [[Número real|números reais]]. Así, <math>x</math> é o [[ángulo]] dunha recta que conecta a orixe do plano e un punto sobre a circunferencia unidade, co eixe positivo real, medido no sentido contrario ás agullas do reloxo e en [[radián]]s. A fórmula só é válida se tamén o seno e o coseno teñen os seus argumentos en radianes.

A fórmula de Euler foi formulada por primeira vez por [[Roger Cotes]] en [[1714]],<ref name="Stillwell">{{Cita libro|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 | url = https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref> e logo redescuberta e popularizada por [[Leonhard Euler|Euler]] en [[1748]].<ref>[[Leonard Euler]] (1748) [http://www.17centurymaths.com/contents/euler/introductiontoanalysisvolone/ch8vol1.pdf Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle] of ''Introduction to the Analysis of the Infinite'', páxina 214, sección 138. (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths)</ref> É interesante notar que ningún dos descubridores viu a interpretación xeométrica sinalada anteriormente: a visión dos números complexos como puntos no plano xurdiu en 1787 por parte do matemático [[Caspar Wessel]] no seu único informe para a Real Academia Danesa.

=== Demostración usando as series de Taylor ===
[[Ficheiro:Euler's_formula.svg|miniatura|300x300px|A fórmula de Euler ilustrada no plano complexo.]]
Sabendo que:
: <math>\begin{align}
i^0 &{}= 1, \quad &
i^1 &{}= i, \quad &
i^2 &{}=-1\quad &
i^3 &{}= -i, \\
i^4 &={} 1, \quad &
i^5 &={} i, \quad &
i^6 &{}= -1, \quad &
i^7 &{}= -i, \\
\end{align}</math>

e así sucesivamente.<ref>{{Cita libro|url=https://books.google.com/books?id=PjK0F0T3NBoC&pg=PA428 |title=A Modern Introduction to Differential Equations |first=Henry J. |last=Ricardo |page=428|language=en}}</ref> Ademais disto, as funcións [[función exponencial|''e''<sup>''x''</sup>]], cos(''x'') e sen(''x'') (asumindo que ''x'' sexa un [[número real]]) poden ser expresadas empregando as súas [[Serie de Taylor|series de Taylor]] ao redor de cero.
: <math> \begin{align}
 e^x &{}= \frac{x^0}{0!}  + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \\
 \cos x &{}= \frac{x^0}{0!} - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= \frac{x^1}{1!}  - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\end{align}</math>
: Outra definición que se lle pode dar a ''e'' elevado a xe baseándose nas [[Serie de Taylor|series de Taylor]] é a seguinte:
: <math>e^x=1+\biggl(\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}\biggr)</math>
: tamén valido para.
: <math>\cos x=1+\biggl(\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}\biggr)</math>
: <math>\sin x=1+\biggl(\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!}\biggr)</math>
  
Defínese cada unha destas funcións polas series anteriores, substituíndo ''x'' por ''i·z'', onde ''z'' é unha variable real e ''i'' a unidade imaxinaria. Isto é posible porque o [[raio de converxencia]] é infinito en cada serie. Entón atópase que:
: <math>\begin{align}
 e^{iz} &{}= \frac{(iz)^0}{0!} + \frac{(iz)^1}{1!} + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \frac{z^0}{0!} + i\frac{z^1}{1!} - \frac{z^2}{2!} - i\frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + i\frac{z^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - i\frac{z^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \left( \frac{z^0}{0!} - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( \frac{z^1}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
        &{}= \cos (z) + i\sin (z)
\end{align}</math>

O reordenamento é posible debido a que cada serie é [[Converxencia absoluta|absolutamente converxente]]. Substituíndo ''z'' = ''x'' como un número real resulta identidade orixinal como a descubriu Euler.

== Relevancia matemática ==
A fórmula proporciona unha potente conexión entre a [[análise matemática]] e a [[trigonometría]]. Utilízase para representar os números complexos en [[coordenadas polares]] e permite definir o [[logaritmo]] para números negativos e números complexos.

=== Logaritmo dun número negativo ===
Neste caso, a fórmula de Euler avalíase en <math>x=\pi</math>, obtendo a [[identidade de Euler]]:
:<math>e^{\mathrm{i}\pi} = \cos \pi+ \mathrm{i}\,\sen \pi=-1 </math> 
:<math>e^{\mathrm{i}\pi} =-1 \,\!</math>

Logo, ao aplicar o logaritmo natural obtense:
:<math>\mathrm{i}\pi =\ln (-1) \,\!</math>.

=== Logaritmo dun número negativo calquera ===
Como extensión da ecuación anterior, o logaritmo de calquera número negativo defínese como:
:<math>\ln (-a) = \ln (a) + \ln (-1) = \ln (a) + \mathrm{i}\pi \,\!</math>. Onde <math>a>0</math>.

Ademais pode definirse o logaritmo dun número negativo en calquera base, a partir do [[logaritmo]] natural e a fórmula de cambio de base.

=== Integración e derivación ===
Unha propiedade importante da fórmula de Euler é que é a única función matemática que permanece coa mesma forma (excepto pola unidade imaxinaria) coas operacións de integración e derivación do cálculo integral, o que permite que se empregue para converter [[ecuacións diferenciais]] en ecuacións con forma alxébrica, simplificando enormemente esas operacións.

Das regras da [[exponenciación]]
: <math>e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}</math>
e
: <math>(e^a)^b = e^{a \cdot b}</math>
(válidas para todo par de números complexos <math>a</math> e <math>b</math>), pódense derivar varias [[identidades trigonométricas]], así como a [[fórmula de De Moivre]].

=== Funcións trigonométricas ===
A fórmula de Euler tamén permite interpretar as funcións seno e coseno como simples variacións da función exponencial:
: <math>\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}</math>
: <math>\sen x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}</math>

A partir destas igualdades, é posible definir as funcións trigonométricas para os números complexos deste xeito:<ref>{{Cita web|url=https://www.ugr.es/~dpto_am/docencia/Apuntes/Calculo_avanzado_Caminos.pdf|editorial=Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada|título=Apuntes de Cálculo avanzado|apelidos=Alaminos Prats|nome=Jerónimo|dataacceso=18 de abril de 2016|data=15 de outubro de 2012|lingua=es}}</ref> 
:<math>\sen z=\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}</math>
:<math>\cos z=\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}</math>
:<math>\tan z=\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}*\cfrac{1}{i}</math>

sendo <math>z \in \mathbb {C}</math>, é dicir, que pertence ao conxunto de números complexos. Estas funcións trigonométricas cumpren as leis das súas similares aplicadas aos números reais. Sexan os números complexos <math>z</math> e <math>w</math>, é dicir <math>z \land w \in \mathbb {C}</math>, entón son válidas as seguintes igualdades:
:<math>\cos^2{z}+\sen^2{z}=1</math>

:<math>\cos(-z)=\cos(z)</math>

:<math>\sen(-z)=-\sen(z)</math>

:<math>\sen(z+w)=\sen(z)\cos(w)+\sen(w)\cos(z)</math>

:<math>\cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\sen(w)\sen(z)</math>

=== Ecuacións diferenciais ===
Nas [[Ecuación diferencial|ecuacións diferenciais]], a expresión <math>e^{ix}</math> é utilizada a miúdo para simplificar derivadas, mesmo se a resposta final é unha [[función]] real na que aparezan senos ou cosenos. A [[identidade de Euler]] é unha consecuencia inmediata da fórmula de Euler.

=== Análise de sinais ===
Os sinais que varían periodicamente adoitan describirse como unha combinación de funcións seno e coseno, como ocorre na [[análise de Fourier]], e estas exprésanse máis convenientemente como a parte real dunha [[función exponencial]] con expoñente imaxinario, empregando a fórmula de Euler.

== Notas ==
{{listaref}}

== Véxase tamén ==
=== Outros artigos ===
* [[Número complexo]]
* [[Número pi|Pi]]
=== Ligazóns externas ===
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_formulas&oldid=14630 «Euler formulas»]
* Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html «Euler Formula».]
*[https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Elements of Algebra]
*[http://www.khanacademy.org/math/calculus/v/euler-s-formula-and-euler-s-identity Euler's Formula and Euler's Identity : Rationale for Euler's Formula and Euler's Identity, video at Khanacademy.org]

{{Control de autoridades}}

[[Categoría:Trigonometría]]
[[Categoría:Teoremas]]